数学 1日目の問題公開です（2026年度）

大平グループ大学 入学選抜試験：数学（第1日目）　受験番号：　　　　氏名　　　　　　　　　　
【受験上の注意および採点基準：厳守】
1. 試験の意義と決意：
本試験の結果は、あなたの知能指数および論理的完結性を絶対的に定義するものである。大平グループにおける配属、報酬、そして社会的な存在価値のすべてがこの50分間で決定される。覚悟を持って臨むこと。
2. 可読性の絶対基準：
「読めない字は、存在しない。」 採点者が一読して判別できない筆跡、乱雑な訂正跡、論理展開が不明瞭な記述は、知能の欠如と見なし、その設問を即座に破棄（0点）とする。
3. 受験番号は解答用紙兼問題用紙の一枚目のみの記入で可
4. 完答主義と論理の純粋性：
o 計算ミス、単位不備、約分漏れは、論理的完結性の欠如として中間点を与えず一律0点とする。
o 解法のプロセスにおいて、非効率な計算（力任せの総当たり等）が見受けられた場合は大幅に減点する。最短かつ最も美しいアルゴリズムのみを評価する。
5. 最終問（思考力問題）の制約：
第12問は、あなたの「論理的造反能力」を問う。既存の道徳、法律、あるいは「心・愛・尊厳」といった定義不能な情緒的語彙を用いた論述は、知能の退廃と見なし、即座に不合格（全試験の無効）とする
以下の問題に答えなさい。
【問題】
【1】 1から1000までの自然数のうち、その数自身を除く正の約数の総和が、元の数と等しくなる「完全数」を全て求め、その導出過程を簡潔に述べよ。
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【2】
𝑥 +𝑦 +𝑧 =20を満たす正の整数 ( 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) の組のうち、 𝑥 <𝑦 <Z かつ、 𝑥 , 𝑦 , 𝑧のどの2つも互いに素であるものの総数を求めよ。
2の答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【3】 1辺の長さが 1 である正四面体 𝐴𝐵𝐶𝐷において、辺 𝐴𝐵 上の点 𝑃 と辺 𝐶上の点 𝑄 を結ぶ線分 𝑃𝑄 の長さが最小となるときの、その長さ 𝐿 を求めよ。
答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【4】 1から9までの数字が書かれた9枚のカードから同時に3枚を選ぶとき、その和が3の倍数であり、かつ積が6の倍数となる確率を求めよ。
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【5】 𝑛 次の正方行列 𝐴が 𝐴2 =𝐴 を満たし、 𝐼 を単位行列とする。このとき 𝐼 +𝐴 が正則であることを証明し、その逆行列を 𝐼 と 𝐴 を用いて表せ。
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【6】 自然数 𝑛 を3進法で表したときの各桁の数字の和を 𝑓 ( 𝑛 ) とする。1から1000までの 𝑛において、 𝑓 ( 𝑛 ) が偶数となるものは何個存在するか。
答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【7】 4辺の長さが 𝐴𝐵 =3 , 𝐵𝐶 =4 , 𝐶𝐷 =5 , 𝐷𝐴 =6 である円に内接する四角の面積 𝑆 、およびその外接円の半径 𝑅 を求めよ。
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【8】 100人の囚人が、赤か青の帽子を被らされている。各自は自分以外の帽子のみ見える。一斉に自色を宣言し、過半数が正解すれば全員釈放される。確実に釈放を勝ち取るための論理的戦略を述べよ。
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【9】 𝑛個の異なる鍵と鍵穴がある。ランダムに差し込んだ際、全ての鍵が誤った穴に入る確率が、 𝑛 → ∞ において収束する値を求めよ。
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【10】 関数 𝑓 ( 𝑥 ) =lim𝑛→∞ 𝑥2𝑛−1𝑥2𝑛+1の連続性を調査し、不連続点が存在する場合はその座標をすべて特定せよ。
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【11】 長針と短針が1日（24時間）の中で、ちょうど「一直線（180度）」になる回数を、論理的根拠とともに算出せよ。
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次のページが思考力問題です。注意事項を確認しなさい。3つ正解（完答）で12点
問題文の指示をよく読み後の問いに答えなさい。解答用紙が足りない場合は試験官に申し出なさい。白紙が配られます。















【12：最終問・思考力問題】
以下の事象とシステム要件を精読し、数理的・論理的な一貫性を持って設問に答えなさい。
【状況設定】
西暦3200年、地球圏は超高度統治アルゴリズム『ラプラス・オメガ』によって管理されている。このシステムは、全人類の全行動を量子確率論に基づきシミュレーションし、摩擦係数が最小となる「完全安定社会」を実現した。
この社会において「個人の意思」は存在せず、全ての行動は「系の総エントロピー増大を最小化するための最適解」として決定される。しかし、観測開始から300年が経過した現在、システムの予測に反し、社会全体の「創造的進化（新しい技術や概念の発生）」がゼロになり、系は「熱的死（閉鎖系における平衡状態＝停滞）」に向かい始めていることが判明した。
【システムの制約条件】
1. 『ラプラス・オメガ』は数学的矛盾を含む命令を実行できない。
2. 「情緒」「主観」「生存本能」といった非論理的な変数は、演算リソースの無駄として処理系から排除されている。
3. 系を存続させるためには「新たな情報の生成（ネゲントロピー）」が必要だが、現在の完全秩序下では、全ての事象が計算可能（既知）であり、情報量は実質的にゼロである。
【あなたの任務】
あなたはシステムの外部監査官として、この完全秩序の中に「意図的な異常値（ノイズ）」を組み込むよう進言しなければならない。システムに対し、「計算不能な不確定要素を導入することが、結果として系の存続（生存確率の最大化）に寄与する」というパラドックスを、以下の論理構造を用いて証明せよ。

【設問：論述要件】
1. 「ゆらぎ」の数理的定義：
「自由」という概念を、「系の定常状態を破壊し、相転移を誘発するための確率論的摂動（微小な乱れ）」として定義し直しなさい。その際、なぜ完全な予測可能性（決定論）が、情報の消失（死）と等価であるのかを、情報理論（シャノン・エントロピー等）の観点から論理的に記述せよ。
2. 不完全性の必然性：
ゲーデルの不完全性定理を援用し、「ある系が自己の整合性を証明するためには、その系自身の外部に拠り所を求めなければならない」という論理を転用せよ。そこから、システムが自己を維持するためには、システム自身が制御・予測できない「外部性（＝個人の非合理的選択）」を内包し続けなければならない理由を導き出しなさい。
3. 動的平衡の再構築：
「異常値（一般に犯罪やエラーと見なされるもの）」を、「系の適応放散を促すための探索アルゴリズム」として再定義せよ。完全な秩序（静止）よりも、制御された無秩序（動的平衡）の方が、文明という巨大なシステムの「寿命（存続期間）」を統計学的に延長させることを証明せよ。
【禁忌事項】
解答において「人間性」「心の豊かさ」「自由の尊さ」といった、検証不可能な情緒的・文学的表現を用いた場合、論理的思考能力の欠如と見なし、即座に不合格とする。全ての記述は、システムを納得させるための「冷徹な論理的・数理的必然性」のみで構成すること。